«Численные методы и математическое моделирование»
Курс предназначен для подготовки бакалавров — физиков, содержит сведения об основных численных методах и их реализации на компьютерах. Целью освоения дисциплины ‘Численные методы и математическое моделирование’ является получение студентами базовых знаний о современных методах обработки экспериментальных данных, способах построения моделей физических объектов и процессов и возможности их программной реализации на ЭВМ.
Темы курса
| Подразделение | Направление | Дисциплина | Уровень | Курс | Форма обучения | Количество часов | Форма контроля |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| КФУ / Институт физики | 011200.62 Физика | Численные методы и математическое моделирование | бакалавр | 1 | очное | 108 | зачет: 2 |
Скриншоты
Доступ к курсу
Курс закрыт для гостевого доступа. Это означает, что Вам будет доступно всё содержимое курса только в процессе обучения на нем. Чтобы учиться на этом курсе, необходимо:
- быть зарегистрированным в системе дистанционного обучения КФУ (как это сделать?);
- согласовать с преподавателем (автором курса, тьютором или учителем) расписание занятий на этом курсе;
- после этого преподаватель запишет Вас на этот курс в свою группу для обучения
В случае возникновения вопросов или проблем с доступом к курсу, Вы можете обратитьсья к нам за помощью с помощью формы обратной связи или через контактные данные.
Численный анализ и математическое моделирование
Целью нашей работы является исследование раличных математических методов в операциях с матрицами.
В настоящее время появилось значительное число различных программных продуктов (Scilab, MathLAB и т.д.), с помощью которых, задавая только входные данные, можно решить значительное число задач.
Для более глубокого анализа численных методов очень удобно использовать средства Scilab, а также алгоритмические языки программирования.
Курсовая работа по теме «Численный анализ и математическое моделирование» направлена на исследование математических методов в операциях с матрицами, аналитическое решение задачи в различных программных средах.
Целью нашей работы является исследование раличных математических методов в операциях с матрицами.
В настоящее время появилось значительное число различных программных продуктов (Scilab, MathLAB и т.д.), с помощью которых, задавая только входные данные, можно решить значительное число задач.
Для более глубокого анализа численных методов очень удобно использовать средства Scilab, а также алгоритмические языки программирования.
Аналитическое решение задачи позволяет разработать четкий алгоритм решения целого класса задач .
Рассматривая решение исследуемой задачи в различных прикладных программах, добиваемся обоснованных результатов, что позволяет выполнить результативный вычислительный эксперимент.
Тема курсовой работы актуальна, так как содержит современные математические методы и различные необходимые компьютерные программы.
Целью работы является последовательное изложение метода решения поставленной задачи, её компьютерная реализация в специализированных компьютерных программах.
1. Постановка задачи
2. Дать описание численных методов, используемых в операциях над матрицами и массивами.
3. Выполнить указанные операции с матрицами в математическом пакете Scilab.
4. Вычислительный эксперимент.
При решении различных задач по математике очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи с компьютерной графики и другие инженерные задачи.
В курсовой работе отобразить различные операции как с массивами, так и с матрицами.
Выполнить следующие операции:
-нахождения определителя матрицы;
— вычисление ранга матрицы;
— составление обратной матрицы;
-выполнить: ( А — В) * 3А;
— решить матричные уравнения А * Х = В ;
- Дать описание численных методов, используемых в операциях над матрицами и массивами.
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Числа m и n называются порядками матрицы. В случае, если m = n, матрица называется квадратной, а число m = n – ее порядком.
В дальнейшем для записи матрицы будут применяться либо сдвоенные черточки, либо круглые скобки:
Для краткого обозначения матрицы часто будет использоваться либо одна большая латинская буква (например, A), либо символ || a ij || , а иногда с разъяснением: А = || a ij || = ( a ij ), где (i = 1, 2, . т, j=1, 2, . n).
Числа a ij , входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи a ij первый индекс і означает номер строки, а второй индекс j — номер столбца. В случае квадратной матрицы
вводятся понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы (таблица 1.1) называется диагональ а11 а12 … ann идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний ее угол. Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ аn1 а(n-1)2 … a1n , идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.
Операции с матрицами:
Суммой(разностью) матриц любого размера называют: матрица, элементы которой являются суммой(разностью) элементов исходных матриц.
Источник
Численные методы в математическом моделировании
Специальный курс лекций написан для студентов 3,4 курсов факультета ВМК МГУ им. М.В.Ломоносова на кафедре Вычислительных методов. Практически все студенты этой кафедры занимаются математическим моделированием, а также разработкой и исследованием численных методов решения математических моделей. Получив на первых двух курсах достаточно большой объём знаний из различных областей математики, поступившие на кафедру студенты третьего курса подчас ”за ненадобностью” успевают вскоре забыть многое из освоенного ими материала. Забывается, как правило, то, что не востребовано. Курс лекций опирается на полученное студентами знания на первых-вторых годах обучения на факультете ВМК и демонстрирует, где и как их следует применять при математическом моделировании. Основная цель курса — показать, что имеющиеся у студента знания должны быть активно использованы и, конечно, пополнены и развиты далее в ходе выполнения предлагаемой каждому из них научно-исследовательской работы на кафедре. Кроме того, лекции способствуют переориентации ещё ученического мышления студента к творческому подходу в процессе математического моделирования при выполнении ими курсовых, практических и дипломных работ. Опираясь на освоенный студентами материал на первых годах обучения не просто как на набор математических фактов, но с точки зрения необходимой востребованности при математическом моделировании, лекции демонстрируют студентам современную точку зрения на математическое моделирование как на основной инструмент исследования сложных нелинейных нестационарных процессов различных областей естествознания, что неоднократно подчёркивал в своих работах академик А.А.Самарский. В лекциях приводится определение современного понятия математического моделирования, введённое академиком А.А.Самарским, перечисляются различные актуальные проблемы математического моделирования, делается упор на необходимость научного подхода к математическому моделированию как в формализованных, так и в слабо формализованных процессов, демонстрируются принципы выбора математического аппарата при математическом моделировании тех или иных процессов, прививаются навыки осознанного выбора численного метода для решения конкретных постановок отдельных математических моделей и методов анализа полученных результатов численного решения задач. В лекциях используются достаточно простые, но наглядные примеры, поясняющие теоретический материал.
Рассматриваются вопросы, связанные с модификацией алгоритмов решения с целью их реализации на супер ЭВМ. Демонстрируются кокретные примеры математического моделирования на супер ЭВМ с визуализацией и анализом полученных результатов.
1.Математическое моделирование как инструмент исследования динамических систем. Введение. Методы научного прогнозирования. Виды причинно следственных связей в динамических процессах. Понятие математического моделирования. Определение математического моделирования академика А.А.Самарского. Универсальность математического моделирования. Понятие адекватности математической модели. 2.Математическое моделирование случайных процессов в предположении равновозможности различных исходов. Простейшие вероятностные методы прогнозирования. Примеры построения пространства элементарных событий. Примеры вероятностных математических моделей. Понятие верификации модели. Круг вопросов, подлежащих изучению при помощи вероятностных математических моделей. 3.Моделирование процессов на основе аппарата математической статистики. Основные задачи математической статистики. Аппарат математической статистики в задачах математического моделирования. Примеры постановки задач математического моделирования на основе аппарата математической статистики. Управление динамическим процессом. Использование аппарата регрессивного анализа для оптимального выбора параметров управления динамическим процессом. 4.ОДУ и их приложение к анализу динамических систем. Математические модели, основанные жестко детерминированными причинно-следственными связями. Этапы решения задачи изучения динамического процесса. Примеры математических моделей на основе ОДУ. Классификация аналитических методов решения ОДУ. Примеры решения задач. Численные методы решения. Прямые и итерационные методы решения. Погрешности прямых методов решения. Зависимость абсолютной ошибки округления от числа обусловленности матрицы. Примеры. Задача Коши. Корректность постановки задачи Коши. Существование и единственность решения задачи Коши. Примеры некорректно поставленных задач. Достаточное условие существования и единственности решения задачи Коши. Исследование корректности задачи Коши. Принципы построения численного метода решения задачи Коши. Понятия погрешности метода , порядка метода, скорости сходимости. Экспериментальный метод погрешности вычисления метода решения задачи Коши. Явные и неявные методы решения. Классификация численных методов решения ОДУ. Сравнительная характеристика методов. Примеры математических моделей на основе ОДУ. Круг вопросов, на которые можно ответить при помощи математического моделирования на основе ОДУ. 5. Анализ устойчивости динамического процесса. Устойчивость по Ляпунову. Определения устойчивого и асимптотически устойчивого решений задачи Коши по Ляпунову. Примеры исследования устойчивости системы ОДУ. Исследование устойчивости решения логистических моделей роста с фиксированной обратной связью. Исследование устойчивости решения модели роста популяции рыбы в водоёме и модели роста преступности региона. Математическое моделирование эффективности рекламы. Исследование асимптотического поведения решения. 6. Методы Ляпунова исследования устойчивости динамического процесса. Первый метод Ляпунова исследования устойчивости. Теорема Ляпунова о характеристических показателях решений линейной системы. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости линейной системы. Второй метод Ляпунова исследования устойчивости. Достаточные условия устойчивости состояния покоя нелинейной автономной системы. Исследование асимптотической устойчивости тривиального решения однородного линейного ОДУ n-ого порядка. Применение теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости автономного решения для конкретных задач, проведение сравнения полученных результатов с результатами исследования устойчивости по определению понятия устойчивости с использованием аналитического вида точного решения. 7. Качественное исследование устойчивости динамического процесса. Метод фазовой плоскости. Классификация точек покоя линейной автономной динамической системы. Построение фазовых портретов. Примеры исследования устойчивости АДС. Топологически эквивалентные динамические системы. Примеры топологически эквивалентных эволюционных систем. Зависимость топологической эквивалентности от величины управляющего параметра системы. Понятие критического значения управляющего параметра. 8. Численные методы исследования спектра дифференциальной задачи. Понятие алгебраической проблемы собственных значений. Стандартная и обобщенная задачи на собственные значения. Полная и частичная проблемы собственных значений. Пакеты стандартных программ решения задач на собственные значения. Методы решения полной проблемы на собственные значения. Метод Якоби. Преобразование Хаусхолдера, матрицы Якоби и метод бисекции. QR и QL алгоритмы. Методы решения частичной проблемы собственных значений. Степенной метод. Метод RBS. Сведение исследования устойчивости эволюционной системы к исследованию спектра задачи на собственные значения дифференциальной задачи. Получение соответствующей алгебраической задачи на собственные значения при помощи разностного метода решения дифференциальной задачи на собственные значения. 9. Диссипативные и консервативные динамические системы. Примеры эволюционных моделей, являющихся диссипативными и консервативными динамическими системами. Численный метод решения консервативных систем. 10. Нелинейные отображения. Понятие теории бифуркации. Исследование дискретных логистических моделей роста. Обобщенная схема простой итерации. Непрерывный аналог логистической модели роста популяции животных на изолированном острове. Бифуркация решения логистической модели роста. Каскады удвоения периодов цикла. Рождение хаоса. 11. Пространственно однородные и пространственно неоднородные математические модели. Математическая модель брюсселятора. Исследование устойчивости решения пространственно однородной модели брюсселятора. Исследование устойчивости решения пространственно неоднородной модели брюсселятора. Получение пространственно однородной модели методом обезразмеривания пространственно неоднородной модели. Получение ОДУ из уравнения в частных производных с операторами переноса и диффузии. 12. Вариационные и классические математические постановки физических задач. Пример Адамара. Численные методы решения вариационных задач. 13. Математическое моделирование неформализуемых процессов. Классические законы термодинамики и синергетики как фундаментальные законы природы. Примеры математических моделей слабо формализуемых процессов.
1. Самарский А.А., Михайлов А.П. Методологические основы моделирования социальных процессов: пределы возможного. Сб. Математическое моделирование социальных процессов. Вып. 2 М.: МГУ. 2000. 2. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2005. 3. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1982. 4. Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы. М.: Финансы и статистика. 2000. 5. Пантилеев А.В., Якимова А.С., Босов А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в приложении к анализу динамических систем. М.: МАИ. 1997. 6. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука. 1989. 7. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: МГУ. 1998. 8. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: УРСС. 2002. 9. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука. 1990. 10. Чуличков А.И. Математические методы нелинейной динамики. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2000. 11. Бабицкий В.И., Крупенин В.Л. Колебания в сильно нелинейных системах. М.: Наука. 1985. 12. Анищенко В.С. Знакомство с нелинейной динамикой. Москва-Ижевск. 2002. 13. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения). М.: ОНИКС 21 век. 2005. 14. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука. 1970. 15. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука. 1978. 16. Захарчук В.Т., Савенкова Н.П. О вычислении границ комплексного спектра. Вестник МГУ. 1990. серия 15. №3. с. 30-34. 17. Магницкий Н.А. Хаотическая динамика нелинейных диссипативных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: МАКС Пресс. 2006. 18. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука. 1989. 19. Плотинский Ю.М. Теоретические и эмпирические модели социальных процессов. М.: Логос. 1998. 20. Комеч Ф.И. Практическое решение уравнений математической физики. М.: МГУ. 2003. 21. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука. 1981. 22. Ильин В.Н. Термодинамика и социология. М.: КомКнига. 2005. 23. Кадомцев Б.Б. Динамика и информация. Изд. журнала Успехи физических наук. 1999. 24. Андерсон Д. и др. Вычислительная гидродинамика и теплообмен. Том 2. М.: Мир. 1990. 25. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Нижний Новгород: Ниж.Гор. университет. 1999. 26. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Москва-Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика. 2002. 27. Дьяконов Е.Г. Энергетические пространства и их применения. М.: ВМК МГУ. 2001.
Источник
Понятие численно-математического моделирования
Словесная, или монографическая, модель представляет собой словесное описание объекта, явления или процесса. Очень часто она выражается в виде определения, правила, теоремы, закона или их совокупности.
Адекватность модели объекту исследований всегда ограничена и зависит от цели моделирования. Всякая модель не учитывает некоторые свойства оригинала и поэтому является его абстракцией. Смысл абстрагирования заключается в отвлечении от некоторых несущественных в данном контексте свойств предмета и одновременном выделении существенных свойств.
Подобие между моделируемым объектом и моделью может быть физическое, структурное, функциональное, динамическое, вероятностное и геометрическое. При физическом подобии объект и модель имеют одинаковую или сходную физическую природу. Структурное подобие предполагает наличие сходства между структурой объекта и структурой модели. При выполнении объектом и моделью под определенным воздействием сходных функций наблюдается функциональное подобие. При наблюдении за последовательно изменяющимися состояниями объекта и модели отмечается динамическое подобие, вероятностное подобие при наличии сходства между процессами вероятностного характера в объекте и модели, а геометрическое подобие при сходстве пространственных характеристик объекта и модели.
Важнейшая особенность модели состоит в возможности неограниченного накопления специализированных знаний без потери целостного взгляда на объект исследования. Моделирование процессов в обществе, природе и технических системах — это основная компонента системного подхода к познанию этих процессов и управлению ими.
На сегодняшний день общепризнанной единой классификации моделей не существует. Однако из множества моделей можно выделить словесные, графические, физические, экономико-математические и некоторые другие типы.
Графическая модель создается в виде рисунка, географической карты или чертежа. Например, зависимость между ценой и спросом может быть выражена в виде графика, на оси ординат которого отложен спрос (D), а на оси абсцисс цена (Р). Кривая нам наглядно иллюстрирует, что с ростом цены спрос падает, и наоборот. Конечно, данную зависимость можно выразить и словесно, но графически она намного нагляднее (рис. 1).
Рисунок 1 — Графическая модель, зависимость между спросом и ценой
Физические, или вещественные, модели создаются для конструирования пока еще несуществующих объектов. Создать модель самолета или ракеты для проверки ее аэродинамических свойств значительно проще и экономически целесообразнее, чем изучать эти свойства на реальных объектах.
Экономико-математические модели отражают наиболее существенные свойства реального объекта или процесса с помощью системы уравнений. Единой классификации экономико-математических моделей также не существует, хотя можно выделить наиболее значимые их группы в зависимости от признака классификации.
По степени агрегирования объектов моделирования, масштабу различают модели:
· одно-, двухсекторные (одно-, двухпродуктовые);
По учету фактора времени различают модели:
В статических моделях система описана в статике, применительно к одному определенному моменту времени. Это как бы снимок, срез, фрагмент динамической системы в какой-то момент времени. Динамические модели описывают систему в развитии.
По цели создания и применения различают модели:
· систем массового обслуживания;
В балансовых моделях отражается требование соответствия наличия ресурсов и их использования.
Параметры эконометрических моделей оцениваются с помощью методов математической статистики. Наиболее распространены эконометрические модели, представляющие собой системы регрессионных уравнений. В данных уравнениях отражается зависимость эндогенных (зависимых) переменных от экзогенных (независимых) переменных. Данная зависимость в основном выражается через тренд (длительную тенденцию) основных показателей моделируемой экономической системы. Эконометрические модели используются для анализа и прогнозирования конкретных экономических процессов с использованием реальной статистической информации.
Оптимизационные модели позволяют найти из множества возможных (альтернативных) вариантов наилучший вариант работы системы, производства, распределения или потребления. Ограниченные ресурсы при этом будут использованы наиболее эффективным образом для достижения поставленной цели.
Сетевые модели наиболее широко применяются в управлении проектами. Сетевая модель отображает комплекс работ (операций) и событий и их взаимосвязь во времени. Обычно сетевая модель предназначена для выполнения работ в такой последовательности, чтобы сроки выполнения проекта были минимальными. В этом случае ставится задача нахождения критического пути. Однако существуют и такие сетевые модели, которые ориентированы не на критерий времени, а, например, на минимизацию стоимости работ.
Модели систем массового обслуживания создаются для минимизации затрат времени на ожидание в очереди и времени простоев каналов обслуживания.
Имитационная модель наряду с машинными решениями содержит блоки, где решения принимаются человеком (экспертом). Вместо непосредственного участия человека в принятии решений может выступать база знаний. В этом случае ЭВМ, специализированное программное обеспечение, база данных и база знаний образуют экспертную систему. Экспертная система предназначена для решения одной или ряда задач методом имитации действий человека, эксперта в данной области.
По учету фактора неопределенности различают модели:
· детерминированные (с однозначно определенными результатами);
· стохастические (с различными вероятностными результатами).
По типу математического аппарата различают модели:
· линейного и нелинейного программирования;
теории массового обслуживания и т.
Численная математическая модель выражает количественные черты объекта или процесса языком уравнений и других математических средств. Собственно говоря, сама математика обязана своим существованием тому, что она пытается вычислить, т. е. количественно отразить на своем специфическом языке количественные закономерности окружающего мира. Огромный толчок развитию численно-математического моделирования дало появление ЭВМ, хотя сам метод зародился одновременно с математикой тысячи лет назад.
Численно-математическое моделирование как таковое отнюдь не всегда требует компьютерной поддержки. Каждый специалист, профессионально занимающийся численно-математическим моделированием, делает все возможное для аналитического исследования модели. Аналитические решения (т. е. представленные логическими построениями, выражающими результаты исследования через исходные данные) обычно удобнее и информативнее численных. Однако, возможности логико-аналитических методов решения сложных количественно-математических задач очень ограничены и, как правило, эти методы гораздо сложнее численных в силу слабого логического аппарата человека, а тем более, двоичного компьютера. В этом курсе доминируют численные методы, реализуемые на компьютерах. Отметим, что понятия «аналитическое решение» и «компьютерное решение» отнюдь не противостоят друг другу, так как
а) все чаще компьютеры при математическом моделировании используются не только для численных расчетов, но и для логико-аналитических преобразований;
б) результат логико-аналитического исследования математической модели часто выражен столь сложной логической формулой, что при взгляде на нее не складывается наглядного восприятия описываемого ею процесса. Эту формулу (хорошо еще, если просто формулу!) нужно протабулировать, представить графически, проиллюстрировать в динамике, иногда даже озвучить, т.е. проделать то, что называется «визуализацией». Очевидно, возможности современных компьютеров наилучшим образом соответствуют этой задаче.
Источник