Графический метод кинематического исследования

Кинематический анализ – это исследование движения звеньев механизма без учета сил, вызывающих данное движение. При кинематическом анализе решаются следующие задачи:

— определение положений звеньев, которые они занимают при работе механизма, а также построение траекторий движения отдельных точек механизма;

— определение скоростей характерных точек механизма и определение угловых скоростей его звеньев;

— определение ускорений отдельных точек механизма и угловых ускорений его звеньев.

При решении задач кинематического анализа используются все существующие методы – графический, графоаналитический (метод планов скоростей и ускорений) и аналитический. При кинематическом анализе в качестве начального звена принимается входное звено (звено, закон движения которого задан), т.е. входное звено со стойкой составляют начальный механизм – с него начинается решение задачи. Далее решение ведется по группам Ассура в порядке их присоединения к механизму.

При этом методе решение задачи сводится к построению диаграмм (графиков) движения исследуемого звена или точки. Строятся диаграммы перемещений, скоростей и ускорений – поэтому данный метод часто называют методом кинематических диаграмм.

Исследование начинается с построения различных положений механизма. Строится “N” последовательных положений механизма, которые он занимает в процессе работы в пределах одного цикла (обычно один полный оборот входного звена). Построение ведется строго в масштабе K_L(понятие масштаба, принятое в теории механизмов см. лекцию 1). Количество положений механизма “N”выбирается в зависимости от необходимой точности исследования. При чисто графическом решении задачи обычно принимают N=12. Это обеспечивает в большинстве случаев достаточную практическую точность при относительно небольшом количестве построений. Большее количество положений делает метод весьма громоздким, приводит к значительному затемнению чертежа и трудности его чтения. При использовании графического метода в качестве алгоритма решения задачи с помощью ЭВМ количество положений механизма, выбираемых для исследования, не имеет ограничений.

Построение отдельных положений механизма ведется по группам Ассура и обычно сводится к графическому решению элементарных геометрических задач.

После построения “N”положений механизма строится диаграмма перемещений исследуемого звена. Одно из положений механизма принимается за нулевое (в качестве нулевого положения можно назначать любое положение механизма, но при чисто графическом решении задачи обычно в качестве нулевого принимают положение механизма, в котором исследуемое звено занимает одно из своих крайних положений). От нулевого положения производится нумерация остальных положений механизма, последовательно занимаемых им в процессе работы (на входном звене нумерация должна совпадать с направлением его движения).

Отметив последовательные положения исследуемого звена, измеряют расстояние до каждого из них от нулевого (см. рисунок 10) и определяют истинные значения перемещений через масштаб чертежа:

– отрезок, измеренный на чертеже в миллиметрах,

S_i – истинное перемещение звена в метрах.

В общем случае для построения диаграммы назначают масштаб перемещений K_S и определяют значения ординат, соответствующие перемещениям звена в каждом положении механизма:

где – значение ординаты на диаграмме перемещений в миллиметрах для каждого положения исследуемого звена (для каждого положения механизма – см. рисунок 11).

Примечание: если величины отрезков, изображающих перемещение звена на чертеже, подходят для построения диаграммы, то можно без дополнительных расчетов откладывать их по оси ординат на диаграмме перемещений для соответствующих положений. При этом , а K_S =K_L .

Ось абсцисс на диаграммах движения является осью времени t. Однако при построении диаграмм обычно отмечаются положения механизма, для которых производится исследование, а затем (в зависимости от выбранного отрезка на оси абсцисс, соответствующего полному циклу работы механизма, и скорости входного звена) рассчитывается масштаб времени K_t:

n₁ – частота вращения входного звена в об/мин

L – отрезок на оси абсцисс диаграммы перемещений, соответствующий полному обороту входного звена.

Двойным дифференцированием диаграммы перемещений получают диаграмму скоростей и диаграмму ускорений исследуемого звена или точки. Так как диаграмма перемещений строится по точкам и уравнение полученной кривой неизвестно, то дифференцирование проводится графическими методами.

Если исследуемое звено является коромыслом (т.е. совершает возвратно-вращательное движение), то строится диаграмма угловых перемещений (углов поворота) данного звена, а при дифференцировании соответственно получают диаграмму угловых скоростей и диаграмму угловых ускорений данного звена.

Примечание: при измерении углов поворота исследуемого звена надо иметь ввиду, что, независимо от масштаба построения механизма, углы на чертеже имеют истинную величину. Углы измеряют в радианах и переводят в отрезки на диаграмме через масштаб углов поворота:

— отрезок на диаграмме угловых перемещений в мм, соответствующий углу поворота Y исследуемого звена;

K_y — масштаб углов поворота в рад/мм.

Для построения траектории движения какой-либо точки надо отметить положение данной точки во всех N положениях механизма и последовательно соединить полученные точки плавной кривой.

3.1.3 Графическое дифференцирование. Графическое интегрирование

Существует три метода графического дифференцирования: метод касательных, метод хорд и метод приращений.

Метод касательных. Метод касательных основан на геометрической интерпретации производной. При использовании метода кинематических диаграмм вначале дифференцируется диаграмма перемещений для получения графика (диаграммы) скоростей. Рассмотрим графическое дифференцирование на этом примере.

V = ds/dt, но т.к. аналитическое выражение для перемещений в данном случае отсутствует, то представляем значения перемещений и времени через отрезки на диаграмме перемещений:

Но отношение бесконечно малого приращения функции к бесконечно малому приращению аргумента на графике представляет собой тангенс угла наклона касательной к данной кривой в рассматриваемой точке, т.е.

Используя данное обстоятельство, диаграмму скоростей строят в следующем порядке (рисунок 11):

— проводят касательные к диаграмме перемещений в намеченных положениях;

— слева от начала координат на оси абсцисс будущей диаграммы скоростей отмечают полюс P на некотором расстоянии H (которое называется полюсным расстоянием);

— из полюса проводят лучи, параллельные проведенным касательным на диаграмме перемещений. Эти лучи отсекают на оси ординат будущей диаграммы скоростей отрезки

Таким образом, и скорость в i-том положении и отрезки oi* пропорциональны tga_i , а значит отрезки oi* пропорциональны V_i ( скорости исследуемого звена в соответствующем положении механизма), т.е. они представляют собой изображение скорости в виде отрезка в некотором масштабе – .

где K_v – масштаб диаграммы скоростей по оси ординат в (м/с)/мм.

Далее отрезки oi* переносят в соответствующие положения, отмеченные на оси абсцисс, и, соединив концы отрезков плавной кривой, получают диаграмму скоростей исследуемого звена. Аналогично строится диаграмма ускорений. При этом масштаб ускорений

Теоретически метод касательных самый точный из графических методов дифференцирования, т.к. дает значение мгновенной скорости (ускорения) именно в том положении, в котором проведена касательная. Однако из-за трудности точного проведения касательных (и сама дифференцируемая кривая, построенная по точкам, имеет отклонения от ее теоретической функции), практическая точность этого метода весьма низкая, поэтому он используется редко (обычно когда надо проанализировать характер движения звена без получения конкретных численных результатов).

Метод хорд. При графическом дифференцировании методом хорд последовательность действий точно такая же, что и при методе касательных, но вместо касательных к дифференцируемому графику в конкретных положениях проводят хорды на выделенных участках. В этом случае

Рисунок 12 – Графическое дифференцирование методом хорд

Изначально в методе хорд имеется неточность, связанная с тем, что на самом деле средняя скорость на участке не обязательно совпадает с мгновенной скоростью на его середине. Однако практическая точность его значительно выше, чем при использовании метода касательных, т.к. хорду по двум точкам провести легко с достаточно высокой степенью точности. Метод тем точнее, чем ближе хорда к дифференцируемой кривой, поэтому делением кривой на более мелкие участки, можно добиться достаточной для практики точности. Поэтому метод хорд применяется значительно чаще, чем метод касательных.

Метод приращений. Метод приращений является частным случаем метода хорд, когда полюсное расстояние принимается равным выделенным участкам на оси абсцисс (при этом все участки должны иметь одинаковую величину H = D ). В этом случае приращение перемещений на выделенном участке представляет собой среднюю скорость на данном участке в некотором масштабе

Аналогично дифференцируется диаграмма скоростей для получения диаграммы ускорений. Метод удобен тем, что не надо проводить никаких вспомогательных линий, дифференцирование осуществляется очень быстро. Однако при повторном дифференцировании (дифференцировании диаграммы скоростей для получения диаграммы ускорений) приращения уменьшаются и точность результатов резко снижается (получается большая относительная погрешность).

При анализе и, особенно, при синтезе механизмов может быть графически задана функция изменения скорости звена, а необходимо иметь функцию перемещения (или необходимо определить функцию изменения скорости при заданной графически функции ускорения). В этом случае можно воспользоваться методами графического интегрирования.

Применяется два метода графического интегрирования – метод площадей и метод хорд.

Графическое интегрирование методом площадей. Этот метод основан на геометрической интерпретации (физическом смысле) интеграла. Рассмотрим данный метод на примере интегрирования диаграммы скоростей. В результате интегрирования необходимо построить диаграмму перемещений.

где А – площадь под кривой скорости на выделенном участке (что соответствует физическому смыслу интеграла).

Для интегрирования методом площадей выделяют на оси абсцисс N положений (в пределах одного цикла). Определяют площадь А₁ (в мм 2 ) под графиком скорости на участке 0-1, площадь А₂ – на участке 1-2, площадь А₃ – на участке 2-3 и т.д. Умножив эти площади на масштаб скоростей и масштаб времени диаграммы скоростей, получают истинные перемещения на выделенных участках, по которым определяют общие перемещения в каждом положении исследуемого звена в расчете от нулевого положения:

После определения всех перемещений задают масштаб K_s, в котором строят диаграмму перемещений.

Графическое интегрирование методом хорд. Данный метод основан на том, что интегрирование есть процесс обратный дифференцированию. Поэтому при этом методе производятся все те же действия, что и при дифференцировании методом хорд, только в обратном порядке:

— делят интегрируемую кривую на ряд участков;

— находят среднее значение функции на каждом участке (приближенно можно принимать за среднее значение функции посередине данного участка);

— сносят эти средние значения на ось ординат интегрируемой диаграммы;

— слева от начала координат на оси абсцисс отмечают полюс Р на некотором полюсном расстоянии H;

— соединяют полюс Р с отмеченными на оси ординат точками, характеризующими средние значения интегрируемой функции на выделенных участках. Полученные лучи характеризуют направления хорд на соответствующих участках искомой функции;

— из начала координат проводят хорду на первом участке, параллельную первому лучу; из конца первой хорды на втором участке проводят хорду, параллельную второму лучу и т.д.

В результате, после построения всех хорд, формируется ломаная кривая, по вершинам которой надо провести плавную кривую. При интегрировании диаграммы скоростей полученная кривая будет представлять собой диаграмму перемещений (соответственно, при интегрировании диаграммы ускорений, получается диаграмма скоростей). Масштабы полученных диаграмм определяются из зависимостей, выведенных для графического дифференцирования:

Источник

Аналитический метод кинематического исследования механизмов

Метод анализа кинематического исследования механизма Функция положения. Функция положения механизма понимается как зависимость qk = qk (q). Это соединяет ведомую часть (-ую) и ведущую часть механизма. Где qk — это параметр, который определяет положение подчиненной связи. q является независимой переменной, которая определяет положение предыдущей ссылки. Функция положения — это геометрическая характеристика механизма. В то же время вы можете установить закон движения ссылки чтения q = q (t) и использовать его в исследованиях кинематики.

Если ведущее звено находится в паре с поворотом (см. Рис. 1.3, а), функция положения задается в виде qk = qk (ф). Где Ф — угол поворота ведущего звена. Если ведущее звено является частью пары перевода (см. Рис. 1.3, в), функция положения задается в виде qk = qk (s). Где s — смещение произвольно выбранной точки на ведущем звене относительно фиксированной системы координат, связанной с распоркой.

Передаточная функция. Аналог скорости и ускорения. Передаточная функция является первой производной функции угла поворота ведомой тяги или положения ведомой тяги по отношению к линейному движению: dsk / * Лр, dsk / ds, dyk dq> k / ds. Мгновенное значение передаточной функции определяется отношением мгновенной скорости звена привода и предыдущего звена. Если угол поворота φ * задан в виде функции φ * = φ * (φ), угловая скорость ω * этой связи может быть выражена как: CO * = = -j- = ОЗСОф = co / * „, (2.1) DT </ F DT DY Где ω — угловая скорость ведущего звена, измеренная в радианах в секунду (рад / с, с «1). Sof = dqk / dy — передаточная функция или аналог угловой скорости k-го звена.

При одинаковом типе перемещения ведомого звена и приводного звена передаточная функция обозначается ikn и называется передаточным отношением от звена к звену p. Дифференцирующее уравнение (2.1) по времени дает угловое ускорение звена ЭКК. dwk d, h ^ soft (/ co </ Sof dip da 2 = CO-f + Sof- = co2ef + esof, cftp dt dt f f Где ef = * / soft / * / f-k-vo аналог углового ускорения звена, e — угловое ускорение звена чтения. Точно так же вы можете получить уравнения скорости и ускорения для любой точки ссылки. Таким образом, скорость и ускорение звена и его точек всегда можно выразить с помощью соответствующего аналога скорости.

Механизм привода звена ускорения и угловой скорости и ускорения. Примените метод анализа кинематического исследования к механизму скольжения кривошипа (см. Рисунок 1.7). Для основного звена механизма используйте кривошип 1 и предположите, что зависимость q = φ известна. = со / Аналитическое исследование наиболее удобно проводить Векторный контурный метод. Каждая схема плоского рычажного механизма может быть представлена в виде замкнутого многоугольника, состоящего из одного или нескольких замкнутых векторных контуров.

Если ссылка имеет фиксированную точку, желательно нарисовать вектор, который появляется из нее. Для каждого такого контура вы можете создать векторное уравнение замыкания. Это далее распространяется на два уравнения контурной проекции на оси декартовой системы координат. Представляет контур OABCO в виде векторной суммы. T + T <+ T2 = XC. (2.2) Проецирование каждого на ось OXwOY \ (2.2) дает: / 1 cos (2.4) xc = l \ coscpi + z2 1- Шатун 2 с передаточной функцией / 21 и линейной скоростью аналога vC (звено J точка C p) для определения угла поворота (pj: BSHF! -721Z2sin92 = aSp; Zj cos9j + Z2jZ2 cos (p2 = 0.

Из уравнения (2.4) видно, что: _ dy2 _ cos (p !. 21 ——- » Yaf 1/2 SOBf2 dxc, $ w (f2-f!) VC _ — / j— д (п \ уют2 Дифференцирующее уравнение (2.4) по cpj дает: — /, Cos (pi- / 22j / 2 coscp2 -ii \ h sincp2 = ССф;) ‘У,’ Я \ sinph! — / 2j / 2sin92 + ’21 ^ 2 C0S (p2 = 0, di 21 dVcv Где / 21 = -, acph = — соответствующий аналог угла, d <$> \ dq>! Разогнать немного. Из уравнений (2.5) i [ <и dCph, определите фактические скорости vc и co2 и ускорение ac2 блоков 3 и 2 соответственно. vc ^ coc ^ cog = co / 21; ac = co2 ^ cf + £ ^ c
e2 = co2 / 2’i + £ / 21. co = const и e = 0 a c = co2aCp; e2 = co2 / 2V

Источник

Строительная механика

Кинематический анализ. Основная формула кинематического анализа

Внешняя нагрузка, воздействующая на сооружение, может вызвать большие перемещения отдельных элементов конструкции, в результате чего оно может быть разрушено, следовательно, перемещения сооружения должны быть очень малыми.

Кинематический анализ – это анализ геометрической структуры сооружения для того, чтобы не допустить возможности возникновения больших перемещений.

В строительной механике при выполнении кинематического анализа внешняя нагрузка не учитывается, а все элементы конструкции считаются жесткими.

В кинематическом анализе выделяют следующие типы расчетных схем:

1) Геометрически неизменяемая система – это система, элементы которой могут перемещаться только за счет своей деформации. Одним из вариантов такой системы является шарнирный треугольник (рис. 1, а).

2) Геометрически изменяемая система – это система, элементы которой могут перемещаться даже без деформаций. В качестве примера такой системы можно привести шарнирный четырехугольник (рис. 1, б).

3) Мгновенно изменяемая система – система, элементы которой могут получать только мгновенные перемещения (рис. 1, в).

Рисунок 1. Типы расчетных схем в кинематическом анализе

Кинематические свойства инженерной конструкции определяют путем расчета числа ее степеней свободы.

Число степеней свободы (W) – это минимальное количество координат, требуемое для определения места нахождения любого элемента конструкции.

Кинематические связи (внутренние и внешние) должны обеспечивать неподвижность конструкции относительно фундамента, а также неизменяемость ее внутренней геометрической структуры.

В случае, если при исключении одной связи из неизменяемой конструкция превращается в изменяемой, то эта связь называется необходимой.

В случае, если при удалении одной связи конструкция остается неизменяемой, то связь называется избыточной.

Число степеней свободы для плоской стержневой системы рассчитывается по формуле, называемой основной формулой кинематического анализа :

Диск (Д) – неизменяемая часть конструкции, представляющая собой жесткий неподвижный элемент;

Шарнир (Ш) – связь, позволяющая соединяемым ею дискам поворачиваться друг относительно друга;

Опорный стержень (С) – число реакций, которые могут возникать во всех связях ( внутренних и внешних ) данной конструкции.

Шарнир, соединяющий два диска, называется простым шарниром (рис. 2, а).

Шарнир, соединяющий несколько дисков, называется сложным шарниром (рис. 2, б).

Сложный шарнир равен ( k –1 ) простому шарниру, где k – число дисков, соединяемых данным шарниром.

Рисунок 2. Сложный и простой шарниры

При расчете по основной формуле кинематического анализа возможны следующие результаты:

1) W>0 – такая система является геометрически изменяемой и такая конструкция не может служить в качестве инженерного сооружения;

2) W=0 – в схеме введено необходимое число связей и если они введены верно, то система неизменяема и статически определима;

3) W<0 – в системе присутствуют избыточные связи если они введены верно , то система неизменяема и статически неопределима.

Вы здесь:
Главная />
Лекция />
Кинематический анализ. Основная формула кинематического анализа

Источник

Метод векторных контуров в кинематике механизмов

Кинематическому анализу механизма предшествует задача структурного анализа. Результатом структурного анализа является символическая формула строения механизма (формула (1.5) для механизма Рис.1). Эта же формула, как правило, определяет последовательность формирования алгоритма кинематического анализа, т.е. является алгоритмической формулой. Смысл ее в следующем: как механизм на стойке собирается путем последовательного присоединения кинематических групп, так и алгоритм кинематического анализа формируется последовательным соединением расчетных модулей, каждый из которых позволяет выполнить кинематическое исследование соответствующей группы. При этом результаты исследования одной группы становятся исходными данными для анализа следующих.

Исследование плоских рычажных механизмов удобно проводить методом векторных контуров, разработанным проф. В.А.Зиновьевым. В этом методе связи в механизме, определяемые как видом кинематических пар, так и размерами звеньев, выражаются в форме условий замкнутости векторных контуров, построенных на базе кинематической схемы механизма. В скалярной форме соответствующие зависимости получают, проецируя контуры на оси координат.

В ДЗ анализируется плоский рычажный механизм, в состав которого входят двухзвенные группы с нулевой подвижностью (группы Ассура) и (или) группы со степенью подвижности 1. Векторные контуры составляют для каждой входящей в механизм группы Ассура. Построенные на базе векторных контуров расчетные модули объединяют в единый расчетный алгоритм согласно алгоритмической формуле, полученной при решении задачи структурного анализа механизма.

Сформулируем формальные правила, которые в дальнейшем будем соблюдать:

— выберем правую декартову систему координат , начало которой совпадает с неподвижной точкой начального звена;

— правило отсчета углов: угол будем отсчитывать от положительного направления оси до положительного направления соответствующего вектора, двигаясь против хода часовой стрелки.

Получим функции положения для условного механизма 1-го класса I_В(0,1) и групп Ассура 2-го класса (диад). Аргумент функций – обобщенная координата (в дальнейшем подразумевается, но не пишется).

2.2.1 Анализ группы I_В(0,1)

Воспользуемся Рис. 2.

Дано: ; ; ; — угол, соответствующий начальному положению входного звена.

Найти: функцию положения точки :

Функция учитывает заданное направление вращения звена 1 в составе механизма:

Источник