VII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум — 2015
К сожалению, много людей в школе не научились применять математику в жизни. Они еще со школьной скамьи считают, что математика – это абстрактные объекты, теоремы, уравнения и т.д., которым никогда не находят применения в жизни. На самом же деле, они просто не поняли, что математика является тесным сплетением чистой (абстрактной, или просто теоретической) математики и прикладной математики. И что доля именно прикладной математики в этом “симбиозе” огромна. Чтобы попытаться представить насколько – обратимся к книге “Начала финансовой математики” Г.П. Башарина: “на первый взгляд финансовая математика сводится к арифметике. Однако ситуация резко усложняется, если речь идет даже о небольших коммерческих операциях, не говоря уже о банковской деятельности. Поэтому кроме арифметики в коммерческих и финансовых расчетах используются алгебраические методы, методы математического анализа, теории вероятностей, математической статистики и других разделов современной математики” [Башарин, 1997, с. 5]. Конечно, без финансовой математики сложно представить современный мир, тем не менее, она демонстрирует лишь некоторую часть прикладной математики.
Как отметил И.И. Блехман, “движущие силы развития математики имеют два основных объективно существующих источника. Один из них, внешний, связан с необходимостью решения математическими средствами задач, лежащих за пределами математики, задач других наук, техники, экономики и т. д.; именно этот источник был исторически первым. Второй источник, внутренний, вытекает из необходимости систематизировать найденные математические факты, выяснить их взаимосвязи, объединить их с помощью обобщающих концепций в теорию, развивать эту теорию по ее внутренним законам; именно этот источник и привел в свое время к выделению математики как науки” [Блехман, 1976, с. 15]. Эта фраза хорошо разграничивает и определяет понятия “прикладная” и “теоретическая” математика. Теоретическая математика занимается установлением закономерностей между теориями, систематизацией теорий, созданием законов, и развитием по этим законам уже сформированных теорий. Ее характерные черты – доказательность и обоснованность. Прикладная же математика использует эти доказанные теории для решения так называемых прикладных задач.
Понятие “прикладная задача” в литературе трактуется по-разному. Н.А. Терешин отмечает, что “одни исследователи прикладной называют задачу, требующую перевода с естественно го языка на математический. Другие исследователи считают, что приклад ная задача должна быть по своей постановке и методам решения более близкой к задачам, возникающим на практике. Третьи под прикладной задачей понимает сюжетную задачу, сформулированную, как правило, в виде задачи-проблемы и удовлетворяющую следующим требованиям: 1) вопрос должен быть поставлен в таком виде, в каком он обычно ставится на практике (решение имеет практическую значимость); 2) искомые и данные величины (если они заданы) должны быть реальными, взятыми из практики” [Терешин, 1990, с. 6].
Сам же Н.А. Терешин дает следующее определение: “прикладная задача – это задача, поставленная вне математики и решаемая математическими средствами” [Терешин, 1990, с. 6]. Это определение, на мой взгляд, точно описывает суть понятия “прикладная задача”. Похожее определение дает в свой книге “Педагогика математики” А.А. Столяр: “Когда в какой-нибудь области науки (не математики), техники или практической деятельности возникает задача, она не является математической по своему содержанию. Это задача физическая, биологическая, химическая, техническая и т. д. Когда же хотят такую задачу решать математическими средствами, ее называют прикладной (по отношению к математике)” [Столяр, 1986, с. 145]. Делая вывод, важно отметить следующее: прикладная задача обязательно имеет научную (практическую) значимость. Причем не в математике, а в других областях знаний. Логично предположить, что задачи прикладного характера встречаются в школьном курсе математики довольно редко. Все же составители задачников — профессиональные математики, а не инженеры-механики, к примеру. Поэтому, в силу некоторого сходства, к прикладным задачам в рамках школьного курса можно отнести практические и межпредметные задачи. Эти задачи обязательно нужны, так как методика их решения идентична методике решения прикладной задачи.
Процесс решения прикладной задачи, согласно Н.А. Терешину “состоит из трех этапов; 1) формализации, перевода предложенной задачи с естественного языка на язык математических терминов, т. е. построения математической модели задачи; 2) решения задачи внутри модели, 3) интерпретации полученного решения, т. е. перевода полученного результата (математического решения) на язык, на котором была сформулирована исходная задача” [Терешин, 1990, с. 6]. Что здесь важно отметить? Традиционно, в обучении второму этапу уделяется время намного большее, чем остальным, хотя они не менее важны. Складывается ситуация, при которой, как заключает А.А. Столяр “учащиеся приобретают некоторые навыки в решении довольно сложных математических задач, но оказываются совершенно бессильными перед простой задачей, возникающей вне математики, так как не умеют ее переводить в математическую” [Столяр, 1986, с. 145].
О важности этапа построения математической модели говорит и А.Н. Тихонов: “во многих случаях правильно выбрать модель — значит решить проблему более чем наполовину. Трудность данного этапа состоит в том, что он требует соединения математических и специальных знаний. При решении школьных задач по физике вы выступаете одновременно как физики и математики” [Тихонов, 1984, с. 13]. Продолжая эту мысль можно процитировать В.А. Гусева: “Разрозненное преподавание предметов естественнонаучного цикла ведет к формированию метафизических представлений у школьников” [Гусев, 1979, с. 8].
Среди множества прикладных задач особое место занимают задачи по определению оптимальной формы различных предметов. Эти задачи очень наглядно демонстрируют применение математики в практических целях. Приведу пример из книги “Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики” И.М. Шапиро:
Задача: Найдите, при каких условиях расход жести на изготовление консервных банок цилиндрической формы заданной емкости будет наименьшим.
Решение. Этап I. Составление математической модели облегчается тем, что известна форма банки и оговорено, что она должна быть заданной емкости. Это существенно для составления модели. Существенным является также требование, чтобы расход жести на изготовление банки был бы наименьшим. Это требование означает, что площадь полной поверхности банки, имеющей форму цилиндра, должна быть наименьшей; существенны и значения раз меров банки. Несущественны для составления математической модели конкретное значение емкости банки и вид консервов (мясных, рыбных, овощных, фруктовых), для которых банка предназначена.
Обозначив емкость банки через V см 3 , сформулируем математическую задачу: «Определить размеры цилиндра с объемом V см 3 так, чтобы площадь его полной поверхности была наименьшей».
Этап II. Для решения математической задачи обозначим диаметр основания цилиндра через х см, а высоту его через h см. Тогда объем цилиндра
Отсюда h=4Vπx2. Полная поверхность цилиндра Sп=2∙14πx2+πxh=12πx2+πx4Vπx2=πx3+8V2x. Итак
Так как переменная х может принимать лишь положительные значения, решение задачи сводится к нахождению наименьшего значения Sп на положительной полупрямой. Найдем производ ную
Для нахождения критических точек решим уравнение Sп’= 0, т. е. уравнение
Корень уравнения 34Vπ. При 00. Следовательно, в точке x=34Vπ функция S(x) имеет минимум.
Так как уравнение не имеет других, кроме 34Vπ, действительных корней, этот минимум совпадает с наименьшим значением функции на рассмотренном промежутке h=4Vπx2=34VπИтак, h=x=34Vπ.
Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра, имеющего объем V, будет наименьшей при h=x=34Vπ, т. е. когда ци линдр равносторонний.
Этап III. Наименьший расход жести на изготовление консервной банки цилиндрической формы заданной емкости будет достигнут при условии, что диаметр основания и высота банки равны между собой по размеру.
Решив задачу, целесообразно провести следующие рассуждения.
Пусть x=32Vπ. Учитывая, что объем цилиндра V, h=4Vπx2=4Vπ∙3(2Vπ)2=232Vπ. Тогда
В этом случае (при x=32Vπ и h=232Vπ) расход жести увеличится более чем на 6% по сравнению с наименьшим. Полезно обратить внимание учеников на то, что в нашей стране выпускаются ежегодно сотни миллионов банок консервов в жестяной упаковке. Если эти банки не представляют собой равносторонний цилиндр, то на их изготовление допускается перерасход жести. Экономия 1% жести на изготовление каждой такой банки позволит за счет сэкономленного материала дополнительно изготовить миллионы новых банок [Шапиро, 1990, с. 45].
Рассматривая прикладные задачи математики, определяющие оптимальную геометрию каких-либо предметов не возможно не вспомнить задачу “о пчелиных сотах”. Невозможно, потому что бортничество считается одним из традиционных занятий жителей нашего чудесного края – Башкирии. Как указывается методистами [С.С. Салаватова, 2010], включение задач с краеведческими сюжетами в учебно-воспитательный процесс, повышает интерес учащихся к урокам математики и значимость математики. Поэтому, большое значение в своей исследовательской работе мы уделяем таким задачам, одной из которых является упомянутая выше задача о пчелиных сотах. Решая вопрос о том, каким должен быть их дом пчелы, фактически, решают две прикладные задачи:
Как эффективно заполнить объем улья равными фигурами? Что значит эффективно? Объем улья, довольно небольшой. А пчелы, животные умные и при этом еще и неплохие оптимизаторы. Фигуры эффективно заполнят объем только при отсутствии между ними зазоров. Сразу можно исключить фигуры цилиндрической формы, так как каждый цилиндр будет только касается другого и плотного прилегания не возникнет. Фигуры неправильной формы рассматривать нецелесообразно, так как это чрезвычайно усложнит расчеты и дальнейшее исполнение ячеек. Следовательно, плотное прилегание могут обеспечить только правильные многоугольники, такие как треугольные, четырехугольные и шестиугольные призмы. Почему нельзя рассматривать пятиугольные или вообще n-угольные призмы? Для того чтобы ответить на этот вопрос необходимо ввести понятие паркет. По википедии: “Парке́т — замощение плоскости одинаковыми многоугольниками без пробелов и перекрытий, в котором любые два многоугольника имеют либо общую сторону, либо только общую вершину, либо вовсе не имеют общих точек” [Википедия]. Так вот, правильные паркеты образуют лишь равносторонние треугольники, квадраты и правильные шестиугольники.
Выбрать оптимальную форму сечения ячейки. Оптимальную – значит при одинаковых объемах фигур, содержащую наименьшую площадь боковой поверхности. Для изготовления стенок ячеек нужно израсходовать определенное количество воска, а пчелы не привыкли тратить его впустую. Почему можно рассматривать только сечение? Потому что, выше уже сказано, что объем фигур считается равным, также равны и длины ячеек – или высоты наших призм. Следовательно, достаточно посчитать, какая из фигур (равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник) имеют наименьший периметр.
C периметром квадрата все просто: Pкв=4a, где a – сторона квадрата.
Стороны треугольника и шестиугольника имеет смысл выразить через это же a, для того чтобы найти как относятся периметры. Это можно сделать, учитывая, что
Итак, площадь равностороннего треугольника находится по формуле:
где через b обозначим сторону треугольника. Отсюда:
Площадь правильного шестиугольника находится по формуле:
Где через c обозначим сторону шестиугольника. Отсюда:
Следующий шаг найдем отношения периметров:
Остается только догадываться, как пчелы сумели произвести данный расчет. Тем не менее, имеет место тот факт, что с помощью прикладной математики можно обосновать, почему пчелы строят ячейки сот в форме шестиугольных призм.
Используемая литература
Башарин, Г.П. Начала финансовой математики / Г.П. Башарин. – М.: ИНФРА-М, 1997. – 160 с.
Блехман, И.И. Прикладная математика: предмет, логика и особенности подходов / И.И. Блехман, А.Д. Мышкис, Я.Г. Пановко. – Киев: Научная думка 1976. – 287 с.
Википедия Паркет (геометрия). – [Электронный ресурс]. – URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Паркет_(геометрия)
Гусев, В.А. Преподавание геометрии в 6-8 классах. Сб. статей / В.А. Гусев, C.С. Варданян. – М.: Просвещение, 1979. – 281 с.
Салаватова, С.С. Методические особенности обучения математике в национальной школе / С.С. Салаватова // Вестник Башкирского университета. 2010. Т. 15. № 3. – С. 835-839.
Столяр, А.А. Педагогика математики: Учебное пособие / А.А. Столяр. – Минск: Высшая школа, 1986. – 414 с.
Терешин, Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики: Кн. для учащихся / Н.А. Терешин. – М: Просвещение, 1990. – 96 с.
Тихонов, А.Н. Вводные лекции по прикладной математике / А.Н. Тихонов, Д.П. Костомаров. – М.: Наука, 1984. – 192 с.
Фридман, Л.М. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся старших классов сред. шк. / Л.М. Фридман, Е.Н. Турецкий. – М.: Просвещение, 1989. – 192 с.
Шапиро, И.М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики: Кн. для учителя / И.М. Шапиро. – М.: Просвещение, 1990. – 96 с.
Источник
Урок по алгебре и началам математического анализа в 11-м классе по теме "Прикладные задачи математики"
Оборудование: компьютер, рисунок пирамиды, зачетные листы, разноуровневые карточки с задачами.
Подготовка к уроку: учащиеся класса разбиваются на 4 группы и готовят заранее презентации по вопросам плана.
I. Вводное слово
В 20 веке в одной из стран нашлись организаторы любопытного конкурса. Они предложили соревноваться в написании сочинения на тему: «Как жил человек без математики». Победителю была обещана большая премия. Но ни одной работы на конкурс не поступило, хотя премия прельщала многих.
История этого конкурса все-таки поучительна. Она является красноречивым свидетельством нелепости темы о жизни человеческого общества без математики.
Сегодня мы проведем урок по теме «Прикладные задачи математики».
Основная цель урока: показать широкое применение математических методов в самых различных областях человеческой деятельности.
Работать будем по следующему плану:
- Физика, экология – радиоактивные вещества.
- Биология – размножение бактерий.
- География – демографические проблемы.
- История – Великие пирамиды.
У каждого из вас есть зачетный лист, который разделен вертикальной чертой на две части. В левой части вы должны в ходе работы на уроке записывать опорные формулы для решения задач. Затем после изложения всего материала занятия вы выполните самостоятельную работу. Решите задачи в зачетном листе с правой стороны от вертикальной черты. Итак, начнем с первого пункта плана.
II. Основная часть
Физика, экология. Радиоактивные вещества
Выступление с показом презентации первой группы учащихся.(Приложение 1)
Сегодня 26 апреля исполняется 20 лет со дня Чернобыльской катастрофы (показ видеофильма о Чернобыле).
Звучат слова: «26 апреля 1986 года на Чернобыльской атомной электростанции мирный атом вышел из-под контроля. Радиоактивное облако накрыло страны Европы и распространилось по всей Земле. Заброшенный город – результат отселения тысяч людей из 30-ти километровой зоны. И это не пикник на обочине неведомых существ. Это результат человеческой самоуверенности. Наша собственная зона, вход куда закрыт на многие-многие годы.»
Огромную опасность для природы нашей планеты представляет гонка вооружений. Загрязнения, возникающие при испытании ядерного оружия, дают 1/5 всех загрязнений окружающей среды. Наша планета постепенно превращается в кладбище ядерных отходов.
Что же представляют собой ядерные отходы – остатки отработанных радиоактивных веществ? Так ли они безобидны?
Скорость уменьшения массы m(t) радиоактивного вещества пропорционально его количеству, т.е. m'(t) = – k m(t). Решением этого уравнения при t = 0 является m(t) = me –kt , где , m – масса вещества в начальный момент времени t = 0, m – масса вещества в момент времени t, Т – период полураспада.
е
2,718281828…, ln 2
2,302585.
Период полураспада Т – это время, за которое первоначальная масса радиоактивного вещества уменьшится вдвое.
Периоды полураспада различных веществ различны: от миллиардов лет до десятимиллионных долей секунды.
Например, период полураспада урана238 – 4,5 млрд лет, цезия137 – 31 год, йода131 – 8 суток, тория с всего 3 • 10 –7 секунд.
Задача 1. Период полураспада радия равен 1600 лет. Через какое время его количество уменьшится в 10 раз?
Ответ: через 5315 лет количество радия уменьшится в 10 раз.
Вопрос. Через какое время из 1 кг радиоактивного радия получится 1 грамм?
Ответ: чтобы из 1 кг радиоактивного радия получить1 грамм, необходимо 15945 лет.
Вывод: теперь понятно, почему нашу планету стали называть кладбищем ядерных отходов.
«Земля у нас только одна. Этот прекрасный корабль имеет всё необходимое для бесконечно долгого путешествия на нём. Механизм жизни необычайно прочен, однако не беспредельно. В случае поломки его, пересесть нам будет не на что. Надо беречь, что имеем»
Берегите Землю!
Берегите
Жаворонка в голубом зените,
Бабочку на листьях повилики,
На тропинке солнечные блики,
На камнях играющего краба,
На могиле тень от баобаба,
Ястреба, парящего над полем,
Полумесяц над речным покоем,
Ласточку, мелькающую в жите,
Берегите Землю!
Берегите!М. Дудин
Физика точная наука, родственная математике. Но математические вычисления применяются и в естественных науках.
Биология. Размножение бактерий
Выступление с показом презентации второй группы учащихся. (Приложение 2)
В воздухе и в воде, в любом комочке почвы и в каждом живом организме обитают тысячи, а то и миллионы бактерий.
Бактерии разрушают мертвую органическую материю и превращают ее в углекислый газ и воду, регулируют состав атмосферы, помогают сохранять плодородие почвы.
Значение бактерий в промышленности и сельском хозяйстве открыл французский ученый Луи Пастер. В результате его исследований были открыты бактерии, оказавшиеся виновниками тяжелых заболеваний человека, животных, растений.
Бактерии необычайно живучи. Их удается обнаружить: в верхних слоях атмосферы на высоте нескольких десятков километров и глубоких подземных скважинах, в кипящих вулканических источниках и в толще антарктических ледников. Бактерии были найдены даже в воде, охлаждающей ядерные реакторы, т. е. там, где уровень радиации во много раз превышает смертельную дозу для человека. Оптимальная температура роста бактерий 30 o -40 o С, встречаются виды, развивающиеся при температуре ниже 12 o С и выше 50 o С.
Скорость m'(t) размножения бактерий связана с массой m(t) бактерий в момент времени t уравнением m'(t) = km'(t), где k – положительное число, зависящее от вида бактерий и внешних условий.
Решением этого дифференциального уравнения являются функции m(t) = Ce kt
Если в момент времени t = 0 масса бактерий – m, то m(t) = me kt
Задача 2. Какое потомство даст одна бактериальная клетка за 6 часов? (Коэффициент k = 2)
Решение.
Ответ: 150000 бактерий – потомство одной бактериальной клетки за 6 часов.
Учитель. Обратите внимание на формулы в 1 и 2 задачах.
Вопрос 1. Чем они отличаются и как отражается это отличие на практике?
Ответ: формулы в задачах 1 и 2 отличаются знаком перед коэффициентом k. На практике это означает, что с течением времени количество радиоактивного вещества уменьшается, а численность бактерий растет.
Вопрос 2. Почему при таком быстром размножении бактерии до сих пор не заполнили нашу Землю?
Ответ: большая часть бактерий быстро погибает (продолжительность жизни бактерий мала).
География. Демографические проблемы
Выступление с показом презентации третьей группы учащихся. (Приложение 3)
На протяжении почти всей истории человечества рост населения был медленным, ускорение роста наступило в 20 веке. Численность в 1 млрд человек население мира достигло в 1820 году. В 1927 году на Земле стало 2 млрд жителей, в 1960 – 3 млрд, в 1975 – 4 млрд, в 1978 – 5 млрд, в 1999 – 6 млрд.
К числу важнейших социально-экономических процессов современности относится урбанизация, характерной чертой которой является быстрый темп роста городского населения. В 1900 г. в городах жило около 14 % населения мира, в 1950 г. – 29 %, в 1995 г. – 45 %, в 2000 г. – 48 %.
Скорость роста народонаселения задается уравнением N'(t) = k N(t)
Решениями этого дифференциального уравнения являются функции N(t) = C
Если в момент времени t = 0 число людей равно N, то N(t) = N , прирост населения в год. Если прирост населения в год составляет 2%, то N = N .
Задача 3. Население города – новостройки увеличивается ежегодно на 8 %. Через сколько лет число жителей удвоится?
9(лет).
Ответ: число жителей удвоится приблизительно через 9 лет.
Источник
Прикладные задачи в математике
Кто ни слышал вечного изречения, что математика – царица всех наук? Но математика — сложная наука, а решение задач требует множества знаний.
А никто не задумывался, зачем вообще нужно решать математические задачи? Во-первых, математика – это и правда основа многих наук. Без математики изучение химии, физики, и даже некоторых разделов биологии не возможно. Без математики и решения задач не могут обойтись такие профессии, как: экономист, программист, инженер, врач, архитектор, военный. Кроме того задачи по математике еще и развивают логическое мышление. Такое умение пригодится и в обычной жизни. Умение решать задачи – один из основных показателей уровня математического развития. Решение задач – работа несколько необычная, а именно умственная работа.
Существует несколько видов задач.
По характеру объектов задачи различаются на прикладные задачи и математические задачи.
Прикладная (практическая) задача – это задача, поставленная вне математики и решаемая математическими средствами.
Математическая задача – задача, которая выполняется посредством умозаключения, вычисления.
По отношении к теории задачи делятся на стандартные задачи и нестандартные задачи.
Стандартные задачи — это задачи, для решения которых в школьном курсе математики имеются готовые правила (в виде словесного алгоритма, формулы, тождества и т.д.) или эти правила непосредственно следуют из правил, теорем, определений программного минимума
Нестандартные задачи – это задачи, способ решения которых не находится в распоряжении субъекта.
По характеру требований задачи делятся на три вида: нахождение (распознавание) искомых, задачи на преобразование или построение и задачи на доказательство и объяснение.
Я считаю, что школьникам нужно больше решать прикладные задачи. Практика показывает, что школьники с большим интересом решают и воспринимают задачи практического содержания. Учащиеся с увлечением наблюдают, как из практической задачи возникает теоретическая, и как чисто теоретической задаче можно придать практическую форму. К прикладной задаче следует предъявлять следующие требования:
- способы и методы решения задачи должны быть приближены к практическим приемам и методам;
- задачи должны соответствовать программе курса, вводиться в процесс обучения как необходимый компонент, служить достижению цели обучения;
- в содержании прикладных задач должны отражаться математические и нематематические проблемы и их взаимная связь;
- вводимые в задачу понятия, термины должны быть доступными для учащихся, содержание и требование задачи должны «сближаться с реальной действительностью»;
- прикладная часть задачи не должна покрывать ее математическую сущность.
Прикладные задачи могут быть использованы с разной целью, они могут заинтересовать или мотивировать, развивать умственную деятельность, объяснять соотношение между математикой и другими дисциплинами.
Прикладная задача повышает интерес учащихся к самому предмету, поскольку для подавляющего большинства ценность математического образования состоит в ее практических возможностях.
Под задачей с практическим содержанием понимается математическая задача, фабула которой раскрывает приложения математики в окружающей нас действительности, в смежных дисциплинах, знакомит ее с использованием в организации, технологии и экономике современного производства, в сфере обслуживания, в быту, при выполнении трудовых операций.
Я считаю, что нужно работать над реализацией прикладной направленности обучения серьезно, ведь она влечет за собой развитие познавательной активности у учащихся.
В педагогических исследованиях прикладная направленность математики понимается как содержательная и методическая связь школьного курса с практикой, что предполагает у учащихся умений, необходимых для решения средствами математики практических задач. А так как в основе их решения лежит математическое моделирование, то для реализации прикладной направленности необходимо организовать обучение школьников элементам моделирования, которыми с дидактической точки зрения являются учебные действия, выполняемые в процессе решения задач.
Развитие у учащихся правильных представлений о характере отражения математикой явлений и процессов реального мира, роли математического моделирования в научном познании и в практике имеют большое значение для формирования диалектико — материалистического мировоззрения учащихся.
Примеры прикладных задач.
Задача 1. За один рейс автомашина МАЗ-25 перевозит 25 тонн груза. Сколько тонн груза она перевезет за k рейсов? Найдите значение выражения при k равном 10, 5, 0.
Составим выражение перевоза 25 тонн груза за k рейсов: 25*k
При k = 10, МАЗ-25 перевезет груз массой 25 * 10 = 250 (т)
При k = 5, МАЗ-25 перевезет груз массой 25 * 5 = 125 (т)
При k = 0, МАЗ-25 перевезет груз массой 0 * 25 = 0 (т)
Ответ: 250 т, 125 т, 0 т.
Задача 2. За 3 часа работы 1 экскаватор вынул 555 м3 земли. Сколько кубических метров земли вынет второй экскаватор за 4 часа, если в час он вынимает на 15 м3 больше, чем первый?
555 : 3 = 185 (м 3 ) – за 1 час вынимает земли первый экскаватор.
185 + 15 = 200 (м 3 ) – за 1 час вынимает земли второй экскаватор.
200 * 4 = 800 (м 3 ) – за 4 часа вынет земли второй экскаватор.
Задача 3. Московская фирма «Выбор» в первом квартале 1999 года продала на сумму 962 тысяч 530 рублей, во втором квартале на 18 тысяч 234 рублей больше, чем в первом. На какую сумму было продано товаров во втором квартале?
962530 + 18234 = 980764 (руб.) – продано товаров во втором квартале.
Ответ: 980 тысяч 764 руб.
Задача 4. Составьте формулу для вычисления расхода горючего трактором при бороновании поля, если на боронование 1га расходуется 1,3 кг горючего.
Решение. В задаче используется функция y = kx (прямая пропорциональность). Если m – расход горючего трактором, S – величина обрабатываемой площади, то m = 1,3S.
Задача 5. Составьте формулу для вычисления площади участка (рис. 1). Определите вид функции, выраженной составленной формулой.
Решение. Площадь участка S = 58a – 135*19. Функция линейная, так как формула имеет вид y = kx + b.
Я считаю, что в школьном курсе математики учащиеся должны больше решать прикладных задач.
Задачи должны быть подобраны так, чтобы их постановка привела к необходимости приобретения учащимися новых знаний по математике, а приобретенные под влиянием этой необходимости знания позволили решить не только поставленную, но и ряд других задач прикладного характера. Для создания проблемных ситуаций можно использовать и отдельные фрагменты прикладных задач, а задачи в целом рассмотреть впоследствии при закреплении и углублении знаний школьников.
Для постановки проблемы перед изложением нового учебного материала следует использовать задачи с практическим содержанием, отличающиеся ясностью и простотой решения. Их использование обеспечивает более осознанное овладение математической теорией, учит школьников самостоятельному выполнению учебных заданий, приемам поиска, исследования и доказательства, основным мыслительным операциям, выделению существенных свойств математических объектов.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
способы и методы решения задачи должны быть приближены к практическим приемам и методам; задачи должны соответствовать программе курса, вводиться в процесс обучения как необходимый компонент, служить достижению цели обучения; в содержании прикладных задач должны отражаться математические и нематематические проблемы и их взаимная связь; вводимые в задачу понятия, термины должны быть доступными для учащихся, содержание и требование задач и должны «сближаться с реальной действительностью»; прикладная часть задачи не должна покрывать ее математическую сущность.
За один рейс автомашина МАЗ-25 перевозит 25 тонн груза. Сколько тонн груза она перевезет за k рейсов? Найдите значение выражения при k равном 10, 5, 0. Решение. Составим выражение перевоза 25 тонн груза за k рейсов: 25*k При k = 10, МАЗ-25 перевезет груз массой 25 * 10 = 250 (т) При k = 5, МАЗ-25 перевезет груз массой 25 * 5 = 125 (т) При k = 0, МАЗ-25 перевезет груз массой 0 * 25 = 0 (т) Ответ: 250 т, 125 т, 0 т.
Составьте формулу для вычисления площади участка . Определите вид функции, выраженной составленной формулой. Решение. Площадь участка S = 58a – 135*19. Функция линейная, так как формула имеет вид y = kx + b.
Источник
Прикладные задачи математического анализа для школьников, Эрентраут Е.Н., 2004
Прикладные задачи математического анализа для школьников, Эрентраут Е.Н., 2004.
В пособии представлен большой набор задач с практическим содержанием: экономического характера, отражающих проблемы окружающей среды, взятых из смежных с математикой учебных предметов — физики, химии, биологии, экологии, экономики, географии. Все задачи рассмотрены с целью проиллюстрировать практическое применение производной и интеграла и вызвать интерес учащихся к этому разделу курса.
Пособие позволяет улучшить организацию изучения основ математического анализа в школе и в вузе. Оно включает задачи прикладного характера из учебников Германии и может быть использовано учителями школ, преподавателями математического анализа и методики преподавания математики, а также студентами в ходе педагогической практики.
Во втором издании пособие пополнено новыми задачами. Кроме того, исправлены все замеченные опечатки и погрешности первого издания.
Примеры.
При извержении вулкана камни горной породы выбрасываются перпендикулярно вверх с начальной скоростью v0 120 м/с. Какой наибольшей высоты достигнут камни, если сопротивлением ветра пренебречь?
Лестница длиной 5 м приставлена к стене таким образом, что верхний её конец находится на высоте 4 м (рис. 17). В некоторый момент времени лестница начинает падать, при этом верхний конец приближается к поверхности земли с постоянным ускорением 2 м/с2.
С какой скоростью удаляется от стены нижний конец лестницы в тот момент, когда верхний конец находится на высоте 2 м?
Составляется электрическая цепь из двух параллельно соединённых сопротивлений. При каком соотношении между этими сопротивлениями сопротивление всей цепи максимально, если при последовательном соединении этих сопротивлений оно равно R?
СОДЕРЖАНИЕ.
ВВЕДЕНИЕ.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ.
Применение производной при решении задач из раздело.
Задачи на экстремум Применение интеграла.
ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ.
Производная в физике и технике.
Задачи на экстремум.
Применение интеграла.
ЗАДАЧИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО СОДЕРЖАНИЯ.
Применение производной.
Задачи на экстремум.
Применение интеграла.
ЗАДАЧИ ИЗ БИОЛОГИИ И ХИМИИ.
Применение производной в биохимии.
Задачи на экстремум.
Применение интеграла.
ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С ЭКОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОБЛЕМАМИ.
Применение производной.
Задачи на экстремум.
Применение интеграла.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.
ЛИТЕРАТУРА.
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Прикладные задачи математического анализа для школьников, Эрентраут Е.Н., 2004 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.
Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу
Источник